円 $x^2 + y^2 = 5$ (①) と直線 $x + 3y + c = 0$ (②) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える。 (1) 定数 $c$ の値の範囲を求めよ。 (2) $c = -5$ とするとき、円①と直線②の2つの共有点A, Bと原点Oの3点を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ (①) と直線 $x + 3y + c = 0$ (②) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える。

(1) 定数 $c$ の値の範囲を求めよ。

(2) $c = -5$ とするとき、円①と直線②の2つの共有点A, Bと原点Oの3点を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円①と直線②が異なる2点で交わる条件は、円の中心(0, 0)と直線②の距離 $d$ が、円の半径 $\sqrt{5}$ より小さいことである。

点(0, 0)と直線 $x + 3y + c = 0$ の距離 $d$ は、公式より

$d = \frac{|0 + 3 \cdot 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{10}}$

である。

$d < \sqrt{5}$ より、

$\frac{|c|}{\sqrt{10}} < \sqrt{5}$

$|c| < \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

したがって、$-5\sqrt{2} < c < 5\sqrt{2}$

(2) $c = -5$ のとき、直線②は $x + 3y - 5 = 0$ となる。

円①と直線②の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 5 + k(x + 3y - 5) = 0$

と表せる。この円が原点(0, 0)を通ることから、

$0^2 + 0^2 - 5 + k(0 + 3 \cdot 0 - 5) = 0$

$-5 - 5k = 0$

$k = -1$

これを代入して、

$x^2 + y^2 - 5 - (x + 3y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - x - 3y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-5\sqrt{2} < c < 5\sqrt{2}$

(2) $x^2 + y^2 - x - 3y = 0$