底面が1辺 $x$ cmの正方形である正四角柱がある。 (1) $\triangle EGH$ の面積を、$x$ を使って表す。 (2) 三角錐 $DEGH$ の体積が $\frac{2}{3}x^3$ cm$^3$ であるとき、この正四角柱の高さを、$x$ を使って表す。

1. 問題の内容

底面が1辺 $x$ cmの正方形である正四角柱がある。

(1) $\triangle EGH$ の面積を、$x$ を使って表す。

(2) 三角錐 $DEGH$ の体積が $\frac{2}{3}x^3$ cm$^3$ であるとき、この正四角柱の高さを、$x$ を使って表す。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle EGH$ の面積を求める。

$\triangle EGH$ は直角三角形であり、$EG = x$ cm、$GH = x$ cmである。

したがって、$\triangle EGH$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times EG \times GH = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$ (cm$^2$)

(2) 正四角柱の高さを $h$ cmとする。

三角錐 $DEGH$ の体積は、

$\frac{1}{3} \times \triangle EGH \times DE = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}x^2 \times h = \frac{1}{6}x^2h$

これが $\frac{2}{3}x^3$ に等しいので、

$\frac{1}{6}x^2h = \frac{2}{3}x^3$

$x^2h = 4x^3$

$h = 4x$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle EGH$ の面積: $\frac{1}{2}x^2$ cm$^2$

(2) 正四角柱の高さ: $4x$ cm