円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ が円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の内部にあるとき、半径 $r$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ が円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の内部にあるとき、半径 $r$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの円の中心間の距離 $d$ を求めます。

円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ の中心は $(-1, 3)$ であり、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の中心は $(2, -1)$ です。

よって、中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

2つの円が互いに内部にあるためには、中心間の距離 $d$ が、大きい円の半径から小さい円の半径を引いた値よりも小さくなければなりません。

大きい円の半径は $\sqrt{49} = 7$ です。

したがって、$d < 7 - r$ となる必要があります。

$5 < 7 - r$

$r < 7 - 5$

$r < 2$

また、半径 $r$ は正の数である必要があるので、$r > 0$ です。

3. 最終的な答え

$0 < r < 2$