(1) 2直線 $3x + 2y - 5 = 0$ と $2x - 3y + 4 = 0$ のなす角の二等分線のうち、傾きが正である直線を求める。 (2) 直線 $y = 2x$ に関して、直線 $2x + 3y = 6$ と対称な直線を求める。

1. 問題の内容

(1) 2直線 $3x + 2y - 5 = 0$ と $2x - 3y + 4 = 0$ のなす角の二等分線のうち、傾きが正である直線を求める。

(2) 直線 $y = 2x$ に関して、直線 $2x + 3y = 6$ と対称な直線を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2直線のなす角の二等分線上の点を $(x, y)$ とすると、点 $(x, y)$ から2直線までの距離が等しい。

点 $(x, y)$ から直線 $3x + 2y - 5 = 0$ までの距離は

$\dfrac{|3x + 2y - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \dfrac{|3x + 2y - 5|}{\sqrt{13}}$

点 $(x, y)$ から直線 $2x - 3y + 4 = 0$ までの距離は

$\dfrac{|2x - 3y + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \dfrac{|2x - 3y + 4|}{\sqrt{13}}$

よって、

$\dfrac{|3x + 2y - 5|}{\sqrt{13}} = \dfrac{|2x - 3y + 4|}{\sqrt{13}}$

$|3x + 2y - 5| = |2x - 3y + 4|$

$3x + 2y - 5 = 2x - 3y + 4$ または $3x + 2y - 5 = -(2x - 3y + 4)$

$x + 5y - 9 = 0$ または $5x - y - 1 = 0$

二等分線の傾きはそれぞれ $-\dfrac{1}{5}$ と $5$ なので、傾きが正である二等分線は $5x - y - 1 = 0$ である。

(2)

直線 $y = 2x$ に関して、直線 $2x + 3y = 6$ 上の点 $(x, y)$ と対称な点を $(X, Y)$ とする。

このとき、線分 $(x, y)$ と $(X, Y)$ の中点 $\left(\dfrac{x+X}{2}, \dfrac{y+Y}{2}\right)$ は直線 $y=2x$ 上にあるので

$\dfrac{y+Y}{2} = 2 \cdot \dfrac{x+X}{2}$

$y + Y = 2(x + X)$

$y = 2x + 2X - Y$ ... (1)

また、直線 $(x, y)(X, Y)$ は $y = 2x$ と垂直に交わるので、

$\dfrac{Y - y}{X - x} = -\dfrac{1}{2}$

$2(Y - y) = -X + x$

$2Y - 2y = -X + x$

$2y = 2Y + X - x$

$y = Y + \dfrac{X}{2} - \dfrac{x}{2}$ ... (2)

(1)と(2)より

$2x + 2X - Y = Y + \dfrac{X}{2} - \dfrac{x}{2}$

$\dfrac{5}{2}x = - \dfrac{3}{2}X + 2Y$

$5x = -3X + 4Y$

$x = \dfrac{-3X + 4Y}{5}$

これを(2)に代入すると

$y = Y + \dfrac{X}{2} - \dfrac{-3X + 4Y}{10}$

$y = Y + \dfrac{5X}{10} - \dfrac{-3X + 4Y}{10}$

$y = \dfrac{6Y+8X}{10} = \dfrac{4X + 3Y}{5}$

$2x + 3y = 6$ に $x = \dfrac{-3X + 4Y}{5}$, $y = \dfrac{4X + 3Y}{5}$ を代入すると

$2 \cdot \dfrac{-3X + 4Y}{5} + 3 \cdot \dfrac{4X + 3Y}{5} = 6$

$-6X + 8Y + 12X + 9Y = 30$

$6X + 17Y = 30$

$6x + 17y = 30$

3. 最終的な答え

(1) $5x - y - 1 = 0$

(2) $6x + 17y = 30$