以下の4つの不等式が表す領域を図示します。 (1) $x^2 + y^2 > 1$ かつ $y < x + 1$ (2) $4x^2 + 9y^2 \le 36$ かつ $x^2 - y^2 \ge 1$ (3) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0$ (4) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0$

幾何学不等式領域楕円双曲線放物線
2025/6/15
はい、承知いたしました。問題文に書かれている4つの不等式の表す領域を図示する問題について、それぞれ解説します。

1. 問題の内容

以下の4つの不等式が表す領域を図示します。
(1)
x2+y2>1x^2 + y^2 > 1 かつ y<x+1y < x + 1
(2)
4x2+9y2364x^2 + 9y^2 \le 36 かつ x2y21x^2 - y^2 \ge 1
(3)
(x2+y21)(xy+1)>0(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0
(4)
(x2+y21)(xy2)>0(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で解いていきます。
(1)
* x2+y2>1x^2 + y^2 > 1 は、中心が原点、半径が1の円の外部を表します。
* y<x+1y < x + 1 は、直線 y=x+1y = x + 1 の下側を表します。
* これらの領域の共通部分を図示します。
(2)
* 4x2+9y2364x^2 + 9y^2 \le 36 は、楕円 x29+y241\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1 の内部を表します。
* x2y21x^2 - y^2 \ge 1 は、双曲線 x2y2=1x^2 - y^2 = 1 の外側(双曲線を含む)を表します。
* これらの領域の共通部分を図示します。
(3)
* (x2+y21)(xy+1)>0(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0 は、以下の2つの場合に分けられます。
* x2+y21>0x^2 + y^2 - 1 > 0 かつ xy+1>0x - y + 1 > 0
* x2+y21<0x^2 + y^2 - 1 < 0 かつ xy+1<0x - y + 1 < 0
* それぞれの領域を図示し、それらを合わせたものが求める領域です。
* x2+y21>0x^2+y^2-1 > 0は円x2+y2=1x^2+y^2=1の外側、x2+y21<0x^2+y^2-1 < 0は円x2+y2=1x^2+y^2=1の内側を表す。
* xy+1>0x-y+1 > 0は直線y=x+1y=x+1の下側、xy+1<0x-y+1 < 0は直線y=x+1y=x+1の上側を表す。
(4)
* (x2+y21)(xy2)>0(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0 は、以下の2つの場合に分けられます。
* x2+y21>0x^2 + y^2 - 1 > 0 かつ xy2>0x - y^2 > 0
* x2+y21<0x^2 + y^2 - 1 < 0 かつ xy2<0x - y^2 < 0
* それぞれの領域を図示し、それらを合わせたものが求める領域です。
* x2+y21>0x^2+y^2-1 > 0は円x2+y2=1x^2+y^2=1の外側、x2+y21<0x^2+y^2-1 < 0は円x2+y2=1x^2+y^2=1の内側を表す。
* xy2>0x-y^2 > 0は放物線x=y2x=y^2の右側、xy2<0x-y^2 < 0は放物線x=y2x=y^2の左側を表す。

3. 最終的な答え

上記の手順に従って、それぞれの不等式が表す領域を図示します。具体的な図は省略しますが、各不等式が示す領域を理解し、それらの共通部分や条件を満たす領域を適切に図示してください。

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