三角形ABCにおいて、辺ABの中点をD、辺ACの中点をEとする。線分BEと線分CDの交点をPとする。三角形PDEの面積が5 $cm^2$のとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をD、辺ACの中点をEとする。線分BEと線分CDの交点をPとする。三角形PDEの面積が5 $cm^2$のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCにおいて、中線BEとCDの交点Pは三角形ABCの重心となる。重心は中線を2:1に内分する。

したがって、BP:PE = CP:PD = 2:1 である。

三角形PDEと三角形PDBにおいて、PD = CP/2であり、高さが共通なので、面積比は底辺の比に等しい。

よって、三角形PDBの面積は、三角形PDEの面積の2倍であるから、 $5 \times 2 = 10$ $cm^2$。

同様に、三角形PECの面積は、三角形PDEの面積の2倍であるから、 $5 \times 2 = 10$ $cm^2$。

三角形BCDの面積は、三角形ABCの面積の半分である。なぜなら、DはABの中点であるから。

同様に、三角形BCEの面積は、三角形ABCの面積の半分である。なぜなら、EはACの中点であるから。

三角形PBCの面積は、三角形BCDの面積から三角形PDBの面積を引いたもの、または、三角形BCEの面積から三角形PECの面積を引いたものである。

したがって、三角形PBCの面積は、三角形PDEの面積の4倍である。なぜなら、三角形PDBの面積は三角形PDEの面積の2倍、三角形PECの面積は三角形PDEの面積の2倍であり、三角形BCD=PDB+PBC、三角形BCE=PEC+PBCだから。

三角形PDEの面積は5 $cm^2$なので、三角形PBCの面積は $5\times4 = 20$ $cm^2$である。

したがって、三角形BCDの面積は、三角形PDBの面積＋三角形PBCの面積=10+20=30 $cm^2$

三角形ABCの面積は、三角形BCDの面積の2倍であるから、$30 \times 2 = 60$ $cm^2$。

あるいは、メネラウスの定理を使う。

三角形ABDにおいて、直線CEを考えると、

$\frac{AE}{EC} \times \frac{CP}{PD} \times \frac{DB}{BA} = 1$

$1 \times \frac{CP}{PD} \times \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CP}{PD} = 2$

同様に、$BP:PE=2:1$。

面積比を考えると、

$\triangle PBC = 4\times \triangle PDE=20$.

$\triangle PDB = 2 \times \triangle PDE = 10$.

$\triangle PEC = 2 \times \triangle PDE = 10$.

$\triangle ABC = \triangle PDE + \triangle PDB + \triangle PEC + \triangle PBC=5+10+10+20 = 45$　ではない。

三角形ABCにおいて、中線定理から、三角形ABCの面積は、三角形PDEの12倍である。したがって、5×12 = 60

3. 最終的な答え

60 $cm^2$