正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの計算を行い、選択肢の中から該当するものを選ぶ問題です。 (i) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$ (ii) $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの計算を行い、選択肢の中から該当するものを選ぶ問題です。

(i) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$

(ii) $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$

2. 解き方の手順

(i) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$

ベクトルの和の性質より、$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$

よって、選択肢の③が該当します。

(ii) $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$

正六角形なので、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

したがって、$2\overrightarrow{AF} = 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CD}$

また、正六角形の性質より、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}$ であり、$2\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{FB}$、$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FE}$ が成立する。

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CD}$

= $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{BD}$ と $\overrightarrow{AE}$ は長さが等しく方向も同じなので,

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AE}$.

$2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$ = $\overrightarrow{AB} + 2(\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{ED})$.　また正六角形なので $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AO}$.

$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BA}$.よって、 $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$ = $\overrightarrow{AB} + 2 (\overrightarrow{AO}+ \overrightarrow{BA})$.

$=\overrightarrow{AB}+ 2 \overrightarrow{AO} +2 \overrightarrow{BA}$. $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{BA}$は逆ベクトルなので、$2 \overrightarrow{BA}=-2\overrightarrow{AB}$

$=- \overrightarrow{AB}+2 \overrightarrow{AO}$. 正六角形の中心をOとすると、$\overrightarrow{AE}= 2\overrightarrow{AO}$.

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF} = - \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$.

図より、$AF= OE=CD$

$AF // OE // CD$

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OE}$

$2\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AD}$

よって、$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AC}$から$\overrightarrow{CB}$へ行く代わりに、$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$を使って$\overrightarrow{CB}$方向へ行っても良い。

なので、$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AB}$を合成すれば、$\overrightarrow{AE}$が得られる。

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$

したがって、選択肢の④が該当します。

3. 最終的な答え

(i) $\overrightarrow{AD}$ (選択肢③)

(ii) $\overrightarrow{AE}$ (選択肢④)