扇形OAB（中心角$\frac{\pi}{3}$）に内接する長方形PQRSについて、OA=1とする。 (1) $\angle AOP = \theta$とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。 (2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

扇形OAB（中心角$\frac{\pi}{3}$）に内接する長方形PQRSについて、OA=1とする。

(1) $\angle AOP = \theta$とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) RSの長さを$\theta$で表す。

OS = OA * cos($\theta$) = cos($\theta$)。

RS = OA - OS = 1 - cos($\theta$)。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値を求める。

PS = OA * sin($\theta$) = sin($\theta$)。

長方形PQRSの面積 S = RS * PS = (1 - cos($\theta$)) * sin($\theta$)。

S = sin($\theta$) - cos($\theta$)sin($\theta$) = sin($\theta$) - (1/2)sin(2$\theta$)。

S' = cos($\theta$) - cos(2$\theta$)。

S' = 0 となる $\theta$ を求める。

cos($\theta$) = cos(2$\theta$)。

2$\theta$ = $\theta$ + 2n$\pi$ または 2$\theta$ = -$\theta$ + 2n$\pi$（nは整数）。

$\theta$ = 2n$\pi$ または 3$\theta$ = 2n$\pi$。

$\theta$ = 2n$\pi$ または $\theta$ = (2/3)n$\pi$。

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ より、$\theta = \frac{0\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$。$\theta = \frac{2\pi}{3}$は$\frac{\pi}{3}$より大きいので不適。しかし、cos($\theta$) = cos(2$\theta$)を解いたときcos($\theta$) - cos(2$\theta$) = 0から2sin($\frac{3\theta}{2}$)sin($\frac{\theta}{2}$) = 0が得られ、$\frac{3\theta}{2}=n\pi$から$\theta = \frac{2n\pi}{3}$。$\frac{\theta}{2}=n\pi$から$\theta = 2n\pi$。

cos($\theta$) - cos(2$\theta$) = 0

cos($\theta$) - (2cos$^{2}$($\theta$) - 1) = 0

-2cos$^{2}$($\theta$) + cos($\theta$) + 1 = 0

2cos$^{2}$($\theta$) - cos($\theta$) - 1 = 0

(2cos($\theta$) + 1)(cos($\theta$) - 1) = 0

cos($\theta$) = -1/2, 1。

$\theta$ = arccos(-1/2) = $\frac{2\pi}{3}$ (不適)，arccos(1) = 0 (不適)。cos($\theta$)=1, $\theta$ = 0。しかし$\theta$=0のとき、S=0になる。

S' = cos($\theta$) - cos(2$\theta$) = 0となる$\theta$を探したが、Sを微分して求めるのが困難である。

$\theta=\frac{\pi}{6}$のとき、$sin(\theta) = \frac{1}{2}$、$sin(2\theta) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$より、S = $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4}$のとき、$sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$sin(2\theta) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$より、S = $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$

S' = cos($\theta$) - cos(2$\theta$) = 0となる$\theta$を数値的に求める。

$\theta \approx 1.047$

S = sin($\theta$) - (1/2)sin(2$\theta$)

S'' = -sin($\theta$) + sin(2$\theta$)

S''($\frac{\pi}{3}$) = -sin($\frac{\pi}{3}$) + sin($\frac{2\pi}{3}$) = 0

したがって、$\theta$=$\frac{\pi}{3}$は極値ではない。

S' = cos($\theta$) - cos(2$\theta$) = 0

のとき$\theta \approx \frac{\pi}{3}$

$\theta$ = 0の近傍ではS > 0

$\theta$ = $\frac{\pi}{3}$のとき、S = $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) RS = 1 - cos($\theta$)

(2) Sの最大値は$\frac{\sqrt{3}}{4}$であり、そのときの$\theta$の値は$\frac{\pi}{3}$である。