袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が2個、白玉が1個出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が2個、白玉が1個出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体の取り出し方の総数を求める。これは、8個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_8C_3$ で計算できる。

次に、赤玉2個と白玉1個を取り出す場合の数を求める。赤玉5個から2個を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ であり、白玉3個から1個を選ぶ組み合わせは $_3C_1$ である。したがって、赤玉2個と白玉1個を取り出す場合の数は、$_5C_2 \times _3C_1$ となる。

求める確率は、(赤玉2個と白玉1個を取り出す場合の数) / (全体の取り出し方の総数) で計算できる。

それぞれの値を計算する。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_3C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3$

したがって、赤玉2個と白玉1個を取り出す場合の数は $10 \times 3 = 30$ である。

求める確率は $\frac{30}{56}$ である。

これを約分すると $\frac{15}{28}$ となる。

3. 最終的な答え

確率は $\frac{15}{28}$ である。