袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出して元に戻すことを5回行う。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出して元に戻すことを5回行う。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題である。

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{1}{3}$ であり、白玉が出る確率は $\frac{2}{3}$ である。

5回の試行で赤玉がちょうど2回出る確率は、二項分布の公式を用いて計算できる。

二項分布の公式は、n回の独立な試行において、ある事象がk回起こる確率Pは、以下の式で表される。

$P = {}_n C_k \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は事象が起こる回数、$p$ は事象が1回の試行で起こる確率、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$で計算される。

今回の問題では、$n = 5$, $k = 2$, $p = \frac{1}{3}$である。

まず、二項係数${}_5 C_2$を計算する。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、確率$P$を計算する。

$P = {}_5 C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{5-2} = 10 \times (\frac{1}{9}) \times (\frac{8}{27}) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{243}$