円 $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 9$ と直線 $x+y-2=0$ の共有点の座標を求める問題です。ただし、x座標が小さい方から答える必要があります。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 9$ と直線 $x+y-2=0$ の共有点の座標を求める問題です。ただし、x座標が小さい方から答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式から $y$ を $x$ で表します。

$x+y-2=0$ より、

$y = -x+2$

次に、この式を円の方程式に代入します。

$(x-1)^2 + (-x+2-4)^2 = 9$

$(x-1)^2 + (-x-2)^2 = 9$

$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 9$

$2x^2 + 2x + 5 = 9$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(x+2)(x-1) = 0$

よって、$x = -2$ または $x = 1$

$x = -2$ のとき、$y = -(-2) + 2 = 4$

$x = 1$ のとき、$y = -1 + 2 = 1$

共有点の座標は $(-2, 4)$ と $(1, 1)$ です。

x座標が小さい方から答えるので、 $(-2, 4)$ が先になります。

3. 最終的な答え

(x, y) = ( -2 , 4 )( 1 , 1 )