一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを、点QはBを同時に出発し、それぞれ毎秒1cmの速さで正方形の辺上をB, Cまで移動する。三角形PBQの面積が12cm$^2$になるのは、点P, Qが出発してから何秒後か求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを、点QはBを同時に出発し、それぞれ毎秒1cmの速さで正方形の辺上をB, Cまで移動する。三角形PBQの面積が12cm$^2$になるのは、点P, Qが出発してから何秒後か求める問題です。

2. 解き方の手順

点P, Qが出発してからの時間を$t$秒とする。

点PはAからBへ移動するので、PBの長さは $10 - t$ cmとなる。

点QはBからCへ移動するので、BQの長さは $t$ cmとなる。

三角形PBQの面積は、底辺をBQ、高さをPBと考えると、

$\frac{1}{2} \times BQ \times PB$で表される。

三角形PBQの面積が12cm$^2$になるのは、

$\frac{1}{2} \times t \times (10 - t) = 12$のときである。

この方程式を解く。

$\frac{1}{2} t (10 - t) = 12$

$t(10 - t) = 24$

$10t - t^2 = 24$

$t^2 - 10t + 24 = 0$

$(t - 4)(t - 6) = 0$

$t = 4$または$t = 6$

tは0から10までの値を取りうる。

$t=4$のとき、PBの長さは$10 - 4 = 6$cm、BQの長さは$4$cm。

$t=6$のとき、PBの長さは$10 - 6 = 4$cm、BQの長さは$6$cm。

いずれも条件を満たす。

問題文には「最も早く」とあるので、$t=4$が答えとなる。

3. 最終的な答え

4秒後