数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式を求める。特性方程式は

$$x^2 = x + 2$$

と表せる。これを解くと

$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$(x - 2)(x + 1) = 0$$

したがって、特性解は $x = 2, -1$ である。

したがって、一般項は

$$a_n = A(2)^n + B(-1)^n$$

と表せる。初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 1$ を用いて $A$ と $B$ を求める。

$$a_1 = 2A - B = 2$$

$$a_2 = 4A + B = 1$$

2つの式を足し合わせると $6A = 3$ より $A = \frac{1}{2}$。

$B = 2A - 2 = 1 - 2 = -1$。

よって、

$$a_n = \frac{1}{2}(2)^n - (-1)^n = 2^{n-1} - (-1)^n$$

次に、$a_{n+1}$ を求める。

$$a_{n+1} = 2^n - (-1)^{n+1}$$

したがって、

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^{n-1} - (-1)^n}{2^n - (-1)^{n+1}}$$

$2^n$ で割ると

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^{-1} - (-1)^n 2^{-n}}{1 - (-1)^{n+1} 2^{-n}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{(-1)^n}{2^n}}{1 - \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{(-1)^n}{2^n} \to 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{2} - 0}{1 - 0} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$