三角形ABCにおいて、AB=$2\sqrt{3}$、BC=$2$、∠C=$120^\circ$である。 (1) ∠Aの大きさを求めよ。また、CAの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積をSとするとき、Sを求めよ。 (3) 三角形ABCの内接円の半径をrとするとき、rを求めよ。また、三角形ABCの内接円の中心をI、外接円の中心をOとするとき、線分OIの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に沿って、順番に問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=$2\sqrt{3}$、BC=$2$、∠C=$120^\circ$である。

(1) ∠Aの大きさを求めよ。また、CAの長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積をSとするとき、Sを求めよ。

(3) 三角形ABCの内接円の半径をrとするとき、rを求めよ。また、三角形ABCの内接円の中心をI、外接円の中心をOとするとき、線分OIの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてCAの長さを求める。

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos{C}$

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + CA^2 - 2 \cdot 2 \cdot CA \cdot \cos{120^\circ}$

$12 = 4 + CA^2 - 4CA \cdot (-\frac{1}{2})$

$CA^2 + 2CA - 8 = 0$

$(CA + 4)(CA - 2) = 0$

$CA > 0$より、$CA = 2$

正弦定理を用いて∠Aの大きさを求める。

$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin{120^\circ}}$

$\sin{A} = \frac{2 \cdot \sin{120^\circ}}{2\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$0 < A < 180^\circ$より、$A = 30^\circ$

(2) 面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA \cdot \sin{C}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin{120^\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(3) 内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$

$\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(2\sqrt{3} + 2 + 2)$

$2\sqrt{3} = r(2\sqrt{3} + 4)$

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$

次に、OIの長さを求める。

$OI^2 = R^2 - 2Rr$, ここでRは外接円の半径。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{C}} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$

$R = 2$

$OI^2 = R(R - 2r) = 2(2 - 2(2\sqrt{3} - 3)) = 2(2 - 4\sqrt{3} + 6) = 2(8 - 4\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3} = 4(4 - 2\sqrt{3}) = 4(3-2\sqrt{3}+1) = 4(\sqrt{3}-1)^2$

$OI = \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2} = 2(\sqrt{3}-1)$

3. 最終的な答え

(1) ∠A = $30^\circ$, CA = $2$

(2) S = $\sqrt{3}$

(3) r = $2\sqrt{3} - 3$, OI = $2(\sqrt{3}-1)$