$\sin\theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ で、答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\sin\theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ で、答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して、$\cos\theta$ を求める。

$\sin\theta = \frac{2}{5}$ を代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\cos\theta \ge 0$ なので、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して、$\tan\theta$ を求める。

$\sin\theta = \frac{2}{5}$ と $\cos\theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$ を代入すると、

$\tan\theta = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$

分母を有理化すると、

$\tan\theta = \frac{2}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan\theta = \frac{2\sqrt{21}}{21}$