(1) 多項式 $x^3 + 5x^2 + ax + 3$ を $x+1$ で割った余りが $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。 (2) 多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ および $x-2$ で割った余りが等しくなるように、$a$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^3 + 5x^2 + ax + 3$ を $x+1$ で割った余りが $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

(2) 多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ および $x-2$ で割った余りが等しくなるように、$a$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1)

剰余の定理より、$x+1=0$ となる $x=-1$ を多項式 $x^3 + 5x^2 + ax + 3$ に代入した値が余りである。したがって、

$(-1)^3 + 5(-1)^2 + a(-1) + 3 = 4$

$-1 + 5 - a + 3 = 4$

$7 - a = 4$

$a = 7 - 4 = 3$

(2)

剰余の定理より、$x-1=0$ となる $x=1$ を多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ に代入した値が余り、$x-2=0$ となる $x=2$ を多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ に代入した値が余りである。それぞれを $R_1, R_2$ とすると、

$R_1 = (1)^3 + a(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 + a - 4 + 3 = a$

$R_2 = (2)^3 + a(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 + 4a - 8 + 3 = 4a + 3$

$R_1 = R_2$ より、

$a = 4a + 3$

$-3a = 3$

$a = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $a = -1$