三角形ABCにおいて、角A = 45°, 角B = 30°, 角C = 105°, 辺a = 8 であるとき、辺bの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角A = 45°, 角B = 30°, 角C = 105°, 辺a = 8 であるとき、辺bの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて辺bの長さを求める。正弦定理は、三角形の各辺の長さと、それぞれの対角の正弦との比が等しいという定理である。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

ここでは、$a$, $A$, $C$ の値がわかっているので、$b$ を求めるために、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を使用する。

この式を変形して、$b$ を求める式にする。

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

それぞれの値を代入する。

$a = 8$, $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

$\sin A = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$b = \frac{8 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$b = 4\sqrt{2}$