三角形ABCにおいて、角Aが30度、辺ABの長さが$\sqrt{3}$、辺ACの長さが3であるとき、辺BCの長さ$a$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが30度、辺ABの長さが$\sqrt{3}$、辺ACの長さが3であるとき、辺BCの長さ$a$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形ABCにおいて、角Aの対辺の長さを$a$、角Bの対辺の長さを$b$、角Cの対辺の長さを$c$とすると、以下の式で表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この問題では、$b=3$, $c=\sqrt{3}$, $A=30^\circ$であるから、余弦定理に代入すると、

$a^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(3)(\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$a^2 = 9 + 3 - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 12 - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 12 - 6 \cdot \frac{3}{2}$

$a^2 = 12 - 9$

$a^2 = 3$

$a>0$より、

$a = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$