三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$ が与えられているとき、角Cの大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$ が与えられているとき、角Cの大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Cを求めます。余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{C}$

と表されます。

この式を $\cos{C}$ について解くと、

$\cos{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

となります。

与えられた値を代入すると、

$\cos{C} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2}$

$\cos{C} = \frac{3 + 4 - 13}{4\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-6}{4\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

$\cos{C} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{C} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $C$ の値は、 $C = 150^{\circ}$です。

3. 最終的な答え

$150^{\circ}$