三角形ABCにおいて、角Aが45度、辺ABの長さが$2\sqrt{2}$、辺ACの長さが3のとき、辺BCの長さ$a$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが45度、辺ABの長さが$2\sqrt{2}$、辺ACの長さが3のとき、辺BCの長さ$a$を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺BCの長さ$a$を求める。余弦定理は以下の通りである。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

ここで、$a$は辺BCの長さ、$b$は辺ACの長さ、$c$は辺ABの長さ、Aは角Aの大きさである。

問題の値を代入すると、以下のようになる。

$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cos 45^\circ$

$a^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 17 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 17 - 12 \cdot \frac{2}{2}$

$a^2 = 17 - 12$

$a^2 = 5$

$a = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$