与えられた2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ (ただし、$2 \le x \le 8$) について、以下の問いに答える。 (1) グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。 (2) 定義域における最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ (ただし、$2 \le x \le 8$) について、以下の問いに答える。

(1) グラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。

(2) 定義域における最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標と軸の方程式を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}((x - 6)^2 - 36) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(6, 1)$ であり、軸の方程式は $x = 6$ である。

(2) 最大値と最小値を求める。

頂点の $x$ 座標は $x=6$ で、定義域 $2 \le x \le 8$ に含まれる。

グラフは下に凸であるから、頂点で最小値をとる。

$x = 6$ のとき、$y = \frac{1}{4}(6 - 6)^2 + 1 = 1$

したがって、最小値は1。

最大値は、定義域の端点 $x = 2$ または $x = 8$ でとる。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2)^2 - 3(2) + 10 = \frac{1}{4}(4) - 6 + 10 = 1 - 6 + 10 = 5$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8)^2 - 3(8) + 10 = \frac{1}{4}(64) - 24 + 10 = 16 - 24 + 10 = 2$

したがって、$x = 2$ のとき最大値5をとる。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は (6, 1) であり、軸の方程式は x = 6 である。

(2) x = 2 で最大値 5 をとり、x = 6 で最小値 1 をとる。