画像にある3つの数学の問題を解きます。 * 問題4：2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの、$m$の範囲を求める。 * 問題5：2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解く。 * 問題6：2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$軸と接するときの、$m$の値と接点の座標を求める。 * 問題7：2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの、$m$の範囲を求める。

1. 問題の内容

画像にある3つの数学の問題を解きます。

* 問題4：2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの、$m$の範囲を求める。

* 問題5：2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解く。

* 問題6：2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$軸と接するときの、$m$の値と接点の座標を求める。

* 問題7：2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの、$m$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

* **問題4**

2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (m+1)^2 - 4(3m-2) = m^2 + 2m + 1 - 12m + 8 = m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$

よって、$m < 1$ または $9 < m$

* **問題5**

$x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x-3)^2 > 0$

$x \neq 3$ を満たす全ての実数。

* **問題6**

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ が $x$軸と接するとき、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = m^2 - (-2m - 1) = m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 = 0$

$m = -1$

このとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

接点の座標は $(1, 0)$

* **問題7**

2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つとき、解と係数の関係より、2つの解の積が負であれば良い。

解の積は $2m + 3$ なので、$2m + 3 < 0$

$2m < -3$

$m < -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

* 問題4：$m < 1, 9 < m$

* 問題5：② $x=3$ 以外のすべての実数

* 問題6：$m = -1$, 接点の座標は $(1, 0)$

* 問題7：$m < -\frac{3}{2}$