問題は大きく分けて3つあり、それぞれ順列・組み合わせ、最短経路、確率に関する問題です。 [1] (1) 生徒4人と先生3人が一列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方の数を求める。 (2) 生徒4人と先生3人が一列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方の数を求める。 (3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方の数を求める。 (4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方の数を求める。 [2] (1) 図のA地点からB地点への最短経路の数を求める。 (2) 図のA地点からP地点を通りB地点への最短経路の数を求める。 [3] 1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、計15枚ある。 このカードから2枚を同時に引くとき、 (1) 1枚だけ奇数である確率を求める。 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求める。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて3つあり、それぞれ順列・組み合わせ、最短経路、確率に関する問題です。

[1]

(1) 生徒4人と先生3人が一列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方の数を求める。

(2) 生徒4人と先生3人が一列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方の数を求める。

(3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方の数を求める。

(4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方の数を求める。

[2]

(1) 図のA地点からB地点への最短経路の数を求める。

(2) 図のA地点からP地点を通りB地点への最短経路の数を求める。

[3]

1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、計15枚ある。

このカードから2枚を同時に引くとき、

(1) 1枚だけ奇数である確率を求める。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求める。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 生徒4人をひとまとめにして1人と考える。すると、先生3人と合わせて4人(組)の並び方を考えることになるので、4!通り。さらに、生徒4人の中での並び方が4!通りある。よって、並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通り。

(2) まず生徒4人を並べる。その隙間(5箇所)から3箇所を選んで先生を並べる。生徒の並べ方は4!通り。先生の並べ方は $_5P_3$通り。よって、$4! \times _5P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$通り。

(3) 生徒2人の選び方は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。先生2人の選び方は $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。よって、$6 \times 3 = 18$通り。

(4) 全ての選び方から先生が一人も選ばれない選び方を引く。全ての選び方は $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。先生が一人も選ばれない選び方は、生徒4人の中から3人を選ぶ選び方なので $_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。よって、$35 - 4 = 31$通り。

[2]

(1) AからBへの最短経路は、右に4回、上に3回移動する組み合わせ。これは $_7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。または、$_7C_3 = 35$通り。

(2) AからPへの最短経路は、右に2回、上に1回移動する組み合わせ。これは $_3C_2 = 3$通り。PからBへの最短経路は、右に2回、上に2回移動する組み合わせ。これは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。よって、$3 \times 6 = 18$通り。

[3]

(1) 15枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせは $_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$通り。

奇数のカードは1,3,5のそれぞれ3枚ずつで計9枚。偶数のカードは2,4のそれぞれ3枚ずつで計6枚。

1枚だけ奇数である選び方は、奇数から1枚選び、偶数から1枚選ぶ組み合わせなので $9 \times 6 = 54$通り。

よって、確率は $\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は、1から「2枚とも偶数である確率」を引けば良い。

2枚とも偶数である選び方は、$_{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

2枚とも偶数である確率は $\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。

したがって、少なくとも1枚が奇数である確率は $1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。

3. 最終的な答え

[1]

(1) 576

(2) 1440

(3) 18

(4) 31

[2]

(1) 35

(2) 18

[3]

(1) $\frac{18}{35}$

(2) $\frac{6}{7}$