色の異なる8個の玉を、2個、3個、3個のグループに分ける方法の総数を求めます。

1. 問題の内容

色の異なる8個の玉を、2個、3個、3個のグループに分ける方法の総数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、8個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは組み合わせの公式を用いて、${}_8 C _2$ で表されます。

次に、残りの6個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、${}_6 C _3$ で表されます。

最後に、残りの3個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、${}_3 C _3$ で表されます。

したがって、2個、3個、3個のグループに分ける組み合わせの数は、${}_8 C _2 \times {}_6 C _3 \times {}_3 C _3$ です。

ただし、3個のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために$2!$で割る必要があります。

${}_8 C _2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${}_6 C _3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3 C _3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 1$

したがって、

$\frac{{}_8 C _2 \times {}_6 C _3 \times {}_3 C _3}{2!} = \frac{28 \times 20 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$

3. 最終的な答え

280通り