与えられた2つの関数を微分し、空欄を埋める問題です。 (1) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2+x+3}}$ の微分 (2) $y = \frac{1}{2} \tan^2 \sqrt{2x}$ の微分

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分し、空欄を埋める問題です。

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2+x+3}}$ の微分

(2) $y = \frac{1}{2} \tan^2 \sqrt{2x}$ の微分

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2+x+3}}$ の微分

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$, $v = \sqrt{2x^2+x+3}$ とおくと、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2+x+3}} \cdot (4x+1) = \frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+3}}$ となります。

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{2x^2+x+3} - x \cdot \frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+3}}}{(\sqrt{2x^2+x+3})^2}$

$y' = \frac{2(2x^2+x+3) - x(4x+1)}{2(2x^2+x+3)\sqrt{2x^2+x+3}}$

$y' = \frac{4x^2+2x+6 - 4x^2-x}{2(2x^2+x+3)^{3/2}}$

$y' = \frac{x+6}{2(2x^2+x+3)^{3/2}}$

したがって、空欄1は6、空欄2はx+6となります。

(2) $y = \frac{1}{2} \tan^2 \sqrt{2x}$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y' = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \sqrt{2x} \cdot (\tan \sqrt{2x})' = \tan \sqrt{2x} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{2x}} \cdot (\sqrt{2x})' = \tan \sqrt{2x} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{2x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x} \cos^2 \sqrt{2x}}$

$y' = \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x} \cos^2 \sqrt{2x}}$

$y' = \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2} \sqrt{x} \cos^2 \sqrt{2x}}$

したがって、空欄3は$\sqrt{2}$、空欄4は2となります。

3. 最終的な答え

(1) 空欄1：6

空欄2：x+6

(2) 空欄3：$\sqrt{2}$

空欄4：2