与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。 (1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ (2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$

(2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

2. 解き方の手順

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx}(2y^2 + 3y^{1/2})$

$1 = (4y + \frac{3}{2}y^{-1/2})\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2}y^{-1/2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(\frac{\log y}{3\sqrt{y}}) = \frac{d}{dx}(5)$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{d}{dx}(\frac{\log y}{3\sqrt{y}}) = \frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\frac{\log y}{\sqrt{y}})$

積の微分法則を適用して、

$\frac{d}{dx}(\frac{\log y}{\sqrt{y}}) = \frac{\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \sqrt{y} - \log y \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}}{y}$

$= \frac{\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{\log y}{2\sqrt{y}}}{y} \frac{dy}{dx}$

$= \frac{2 - \log y}{2y\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = \frac{2 - \log y}{2y^{3/2}} \frac{dy}{dx}$

したがって、

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3}\frac{2 - \log y}{2y^{3/2}}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{2 - \log y}{6y^{3/2}}} = - \frac{6y^{3/2}}{\cos^2 x(2 - \log y)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = - \frac{6y^{3/2}}{\cos^2 x(2 - \log y)}$