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問題は、式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を計算することです。

代数学多項式の展開因数分解置換二次式
2025/4/9

1. 問題の内容

問題は、式 (x−1)(x−3)(x−5)(x−7)+15(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、式 (x−1)(x−3)(x−5)(x−7)+15(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 を展開します。
(x−1)(x−7)=x2−8x+7(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7
(x−3)(x−5)=x2−8x+15(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15
したがって、
(x−1)(x−3)(x−5)(x−7)+15=(x2−8x+7)(x2−8x+15)+15(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15
y=x2−8xy = x^2 - 8x と置換すると、
(y+7)(y+15)+15=y2+22y+105+15=y2+22y+120(y+7)(y+15) + 15 = y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120
y2+22y+120=(y+10)(y+12)y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)
y=x2−8xy = x^2 - 8x を代入すると、
(x2−8x+10)(x2−8x+12)(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)
(x2−8x+10)(x2−8x+12)=(x2−8x+10)(x−2)(x−6)(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)
別の解き方
(x−1)(x−3)(x−5)(x−7)+15(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15
x=4x = 4を代入すると
(4−1)(4−3)(4−5)(4−7)+15=(3)(1)(−1)(−3)+15=9+15=24(4-1)(4-3)(4-5)(4-7)+15 = (3)(1)(-1)(-3)+15 = 9+15 = 24
((x−1)(x−7))((x−3)(x−5))+15=(x2−8x+7)(x2−8x+15)+15((x-1)(x-7))((x-3)(x-5)) + 15 = (x^2-8x+7)(x^2-8x+15)+15
ここで、A=x2−8xA = x^2 - 8x とおくと、
(A+7)(A+15)+15=A2+22A+105+15=A2+22A+120=(A+10)(A+12)(A+7)(A+15)+15 = A^2 + 22A + 105+15 = A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)
したがって、 (x2−8x+10)(x2−8x+12)=(x2−8x+10)(x−2)(x−6)(x^2-8x+10)(x^2-8x+12) = (x^2-8x+10)(x-2)(x-6)

3. 最終的な答え

(x2−8x+10)(x2−8x+12)(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) または (x2−8x+10)(x−2)(x−6)(x^2-8x+10)(x-2)(x-6)

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