与えられた式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ の因数分解

$x$ についての2次式とみて整理します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

$2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y-1)(y+3)$

したがって、与式は

$x^2 + (3y+2)x + (2y-1)(y+3)$

$(x + (2y-1))(x + (y+3))$ と因数分解できるかどうかを試します。

$(x+2y-1)(x+y+3) = x^2 + xy + 3x + 2xy + 2y^2 + 6y - x - y - 3 = x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

よって、因数分解できます。

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ の因数分解

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5) + 15$ のように順番を入れ替えてみます。

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

$x^2 - 8x = A$ とおくと、

$(A+7)(A+15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

$A = x^2 - 8x$ を代入して、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y-1)(x+y+3)$

(2) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$