次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 $f(x) = x - \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx$

1. 問題の内容

次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x) = x - \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_0^1 f(x) dx$ を計算する必要がありますが、$f(x)$ が未知なので、この積分を定数 $A$ とおきます。

$A = \int_0^1 f(x) dx$

すると、$f(x)$ は以下のように書き表せます。

$f(x) = x - \frac{1}{2} A$

この $f(x)$ を積分 $A = \int_0^1 f(x) dx$ に代入します。

$A = \int_0^1 (x - \frac{1}{2} A) dx$

積分を実行します。

$A = [\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} A x]_0^1$

$A = (\frac{1}{2} (1)^2 - \frac{1}{2} A (1)) - (\frac{1}{2} (0)^2 - \frac{1}{2} A (0))$

$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} A$

$A + \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

この $A$ の値を $f(x) = x - \frac{1}{2} A$ に代入して、$f(x)$ を求めます。

$f(x) = x - \frac{1}{2} (\frac{1}{3})$

$f(x) = x - \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$f(x) = x - \frac{1}{6}$