長方形ABCDにおいて、点PはAからBを通ってCまで毎秒1cmで移動し、点QはAからDを通ってCまで毎秒1cmで移動します。点Pが出発してからx秒後の三角形APCの面積をy平方cmとします。このとき、三角形APCと三角形AQCの面積が等しくなる回数を求めます。 また、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ とx軸、y軸との交点をA, Bとするとき、三角形OABの面積を求めます。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PはAからBを通ってCまで毎秒1cmで移動し、点QはAからDを通ってCまで毎秒1cmで移動します。点Pが出発してからx秒後の三角形APCの面積をy平方cmとします。このとき、三角形APCと三角形AQCの面積が等しくなる回数を求めます。

また、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ とx軸、y軸との交点をA, Bとするとき、三角形OABの面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、問9について考えます。

グラフから、AB = 6cm、AD = 8cmであることがわかります。

三角形APCの面積は、

- 0 <= x <= 6 のとき、$y = \frac{1}{2} * x * 8 = 4x$

- 6 <= x <= 14 のとき、$y = \frac{1}{2} * 6 * 8 = 24$, $y = \frac{1}{2} * (14 - x) * 8 = 4(14 - x) = 56 - 4x$

次に、三角形AQCの面積を考えます。

- 0 <= x <= 8 のとき、$y = \frac{1}{2} * x * 6 = 3x$

- 8 <= x <= 14 のとき、$y = \frac{1}{2} * (16 - x) * 6 = 3(16 - x) = 48 - 3x$

それぞれの期間で面積が等しくなる回数を求めます。

- 0 <= x <= 6 のとき：$4x = 3x$ より $x = 0$. 問題文よりこれは除外。

- 6 <= x <= 8 のとき：$24 = 3x$ より $x = 8$.

- 6 <= x <= 8 のとき：$56 - 4x = 3x$ より $7x = 56$, $x = 8$.

- 8 <= x <= 14 のとき：$56 - 4x = 48 - 3x$ より $x = 8$.

面積が等しくなる回数は1回。

次に、問10について考えます。

直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ がx軸と交わる点はy = 0のときなので、

$0 = -\frac{1}{2}x + 5$, $x = 10$

したがって、点Aの座標は(10, 0)です。

直線 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ がy軸と交わる点はx = 0のときなので、

$y = -\frac{1}{2}(0) + 5 = 5$

したがって、点Bの座標は(0, 5)です。

三角形OABの面積は、$\frac{1}{2} * OA * OB = \frac{1}{2} * 10 * 5 = 25$

3. 最終的な答え

問9の答え：1

問10の答え：25