三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をEとする。線分AD、BEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の問いに答える。 (1) ED:AB と AF:FD および BF:FE を求める。 (2) 三角形ABDの面積と三角形ABFの面積をSを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をEとする。線分AD、BEの交点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、以下の問いに答える。

(1) ED:AB と AF:FD および BF:FE を求める。

(2) 三角形ABDの面積と三角形ABFの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) ED:ABについて

メネラウスの定理を三角形ADCと直線BEに適用すると、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{DF}{FA} = \frac{1}{6}$

よって $AF:FD = 6:1$

チェバの定理を三角形ABCに適用すると、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{AF}{FB} = 4$

メネラウスの定理を三角形BCEと直線ADに適用すると、

$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{AB}{2} \cdot \frac{EF}{FC} = 1$

$\frac{AB}{AE} = \frac{BA}{AE} = \frac{BA}{AE} = \frac{BA}{EA}$

$\frac{ED}{AB}$ を求める。

三角形 CAEと直線 BD にメネラウスの定理を適用する。

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} \cdot \frac{AE}{EC}=1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{DF}{AF} \cdot \frac{2}{1}=1$

$6\frac{DF}{AF}=1$

$\frac{DF}{AF} = \frac{1}{6}$

$AF:FD=6:1$

三角形 CBDと直線 AEにメネラウスの定理を適用する。

$\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC}=1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{1}{2}=1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{EF}{FB}=1$

$\frac{EF}{FB}=\frac{4}{3}$

$BF:FE=3:4$

三角形 CABと直線 EDにメネラウスの定理を適用する。

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{BF}{FA} = \frac{1}{4}$

三角形 EADと直線BCにメネラウスの定理を適用する。

$\frac{EC}{CA} \cdot \frac{AB}{BD} \cdot \frac{DF}{FE} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{AB}{BD} \cdot \frac{DF}{FE} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{AB}{1} \cdot \frac{DF}{FE} = 1$

$\frac{ED}{DC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{AF}{FE} = 1$

$\frac{ED}{AB}$を求める

三角形ABCについて、AB=c, BC=a, CA=bとすると、D, Eはそれぞれ辺BC, CAを1:2, 2:1に内分する点なので

$\vec{AD} = \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3} = \frac{2\vec{c}+\vec{b}}{3}$

$\vec{BE} = \frac{\vec{BA} + 2\vec{BC}}{3} = \frac{-\vec{c}+2(\vec{a}-\vec{c})}{3} = \frac{2\vec{a}-3\vec{c}}{3}$

$\vec{AF}=k\vec{AD}, \vec{BF}=l\vec{BE}$とすると、

$\vec{OF}=\vec{OA}+k\vec{AD} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OD} = \vec{OB}+l\vec{BE} = (1-l)\vec{OB} + l\vec{OE}$

$\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE}$

$= \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3} - \frac{2}{3}\vec{AC}$

$= \frac{2\vec{AB} - \vec{AC}}{3}$

$\frac{ED}{AB}=\frac{1}{3} \frac{2AB - AC}{AB}$

求めるものはED : AB なので、ABを基準としたときにEDがどのくらいの割合になるかを求める必要がある。

$ED = \frac{1}{3}AC$

点EからBCに平行な直線を引くと、ABとの交点をGとすると、

△AGE ∽ △ABCで、AE:AC = 2:3なので、AG:AB = 2:3

したがって、EG = $\frac{2}{3}BC$

$\frac{CD}{BC} = \frac{2}{3}$なので、EG : CD = BC * $\frac{2}{3}$ : BC * $\frac{2}{3}$ = 1 : 1

よって、四角形EDCGは平行四辺形なので、ED = GC = $\frac{1}{3}AB$

ED : AB = 1 : 3

AF:FD = 6:1

BF:FE = 3:4

(2) 三角形ABDの面積について

三角形ABCにおいて、BD:DC = 1:2なので、

$\triangle ABD = \frac{1}{3} S$

三角形ABFの面積について

$\triangle ABE = \frac{2}{3} S$

$\triangle ABF = \frac{3}{7} \triangle ABE = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} S = \frac{2}{7} S$

3. 最終的な答え

ED : AB = 1 : 3

AF : FD = 6 : 1

BF : FE = 3 : 4

三角形ABD = $\frac{1}{3} S$

三角形ABF = $\frac{2}{7} S$