1が書かれたカードが4枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが2枚、4が書かれたカードが1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。Xは0, 1, 2の値を取りうる。

1. 問題の内容

1が書かれたカードが4枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが2枚、4が書かれたカードが1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。Xは0, 1, 2の値を取りうる。

2. 解き方の手順

まず、カードの総枚数を計算する。4+3+2+1 = 10枚

偶数のカードは2と4のカードなので、合計で3+1=4枚ある。

奇数のカードは1と3のカードなので、合計で4+2=6枚ある。

(i) X = 0のとき：2枚とも奇数のカードを引く確率

1枚目に奇数のカードを引く確率は $\frac{6}{10}$。

2枚目に奇数のカードを引く確率は $\frac{5}{9}$ (1枚奇数を引いたので奇数のカードは5枚、全体のカードは9枚になる)。

よって、

$P(X=0) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

(ii) X = 1のとき：1枚が偶数、もう1枚が奇数のカードを引く確率

1枚目に偶数、2枚目に奇数の場合：$\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$

1枚目に奇数、2枚目に偶数の場合：$\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$

よって、

$P(X=1) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

(iii) X = 2のとき：2枚とも偶数のカードを引く確率

1枚目に偶数のカードを引く確率は $\frac{4}{10}$。

2枚目に偶数のカードを引く確率は $\frac{3}{9}$ (1枚偶数を引いたので偶数のカードは3枚、全体のカードは9枚になる)。

よって、

$P(X=2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

確率の合計を確認する。

$\frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

X = 0 のとき、P = 1/3

X = 1 のとき、P = 8/15

X = 2 のとき、P = 2/15