三角形ABCにおいて、点Oは外心である。$\angle BAC = 40^\circ$, $\angle ABO = 30^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心である。$\angle BAC = 40^\circ$, $\angle ABO = 30^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、三角形の外心である点Oから各頂点A, B, Cに線を引く。外心の性質より、$OA = OB = OC$となる。

三角形OABは$OA = OB$の二等辺三角形であるから、$\angle OAB = \angle ABO = 30^\circ$である。

したがって、$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ$となる。

同様に、三角形OACも$OA = OC$の二等辺三角形であるから、$\angle OCA = \angle OAC = 10^\circ$である。

$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 10^\circ + \angle OCB$となる。

ここで、$\angle BOC$は中心角であり、$\angle BAC$は円周角であるため、$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$である。

三角形OBCは$OB = OC$の二等辺三角形であるから、$\angle OBC = \angle OCB$であり、$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$である。

$2 \times \angle OCB + 80^\circ = 180^\circ$より、$\angle OCB = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$となる。

したがって、$\angle ACB = 10^\circ + 50^\circ = 60^\circ$となる。

三角形ABCの内角の和は180度であるため、$\angle ABC = 30^\circ + \angle OBC = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$である。

すると、$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 80^\circ + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$となる。

最後に、$\angle P = \angle BPC$を求める。図から、$\angle BOC = \angle P$。したがって、$\angle P = 80^\circ$である。

3. 最終的な答え

$\angle P = 80^\circ$