1. 問題の内容
点Oが三角形ABCの外心であるとき、∠BAC = 70°, ∠ABO = 30°である。∠Pを求める。
2. 解き方の手順
外心Oは三角形ABCの外接円の中心である。したがって、OA = OB = OC となる。
三角形OABはOA = OBの二等辺三角形であるから、∠OAB = ∠ABO = 30°。
したがって、∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠ABO = 180° - 30° - 30° = 120°。
円周角の定理より、∠AOB = 2 * ∠ACBであるから、∠ACB = ∠AOB / 2 = 120° / 2 = 60°。
三角形の内角の和は180°であるから、∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 70° - 60° = 50°。
∠OBC = ∠ABC - ∠ABO = 50° - 30° = 20°。
三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形であるから、∠OCB = ∠OBC = 20°。
したがって、∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 20° - 20° = 140°。
∠Pは∠BOCの中心角に対する円周角であるから、∠BAC = 70°を利用して
∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 70° = 140°
∠BOCに対する円周角が∠BACなので、∠BOC = 2 * ∠BAC であることは正しい。
∠BPC(∠P)は、中心角∠BOCに対する円周角なので、∠BPC = 1/2 * ∠BOC = 1/2 * (2 * ∠BAC) = ∠BAC。
ここで、直線BPと直線CPを引くと、∠BOCは∠BACの中心角になる。
∠BOC = 2∠BAC = 2 * 70° = 140°
∠Pは∠BOCに対する円周角なので、
∠BPC = 1/2 * (360° - ∠BOC) = 1/2 * (360° - 140°) = 1/2 * 220° = 110°
3. 最終的な答え
110