与えられた6つの式を因数分解する問題です。これらの式は、主に3乗の和または差の形をしています。 (1) $x^3 + 8$ (2) $a^3 - 125b^3$ (3) $8x^3 + 27$ (4) $64a^3 - 27b^3$ (5) $\frac{1}{27} + x^3$ (6) $x^3 - y^3z^3$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。これらの式は、主に3乗の和または差の形をしています。

(1) $x^3 + 8$

(2) $a^3 - 125b^3$

(3) $8x^3 + 27$

(4) $64a^3 - 27b^3$

(5) $\frac{1}{27} + x^3$

(6) $x^3 - y^3z^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$または$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$の公式を用いて因数分解します。

(1) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$

$A = x$, $B = 2$として、上記の公式を適用します。

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $a^3 - 125b^3 = a^3 - (5b)^3$

$A = a$, $B = 5b$として、上記の公式を適用します。

$a^3 - (5b)^3 = (a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3$

$A = 2x$, $B = 3$として、上記の公式を適用します。

$(2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $64a^3 - 27b^3 = (4a)^3 - (3b)^3$

$A = 4a$, $B = 3b$として、上記の公式を適用します。

$(4a)^3 - (3b)^3 = (4a-3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

(5) $\frac{1}{27} + x^3 = (\frac{1}{3})^3 + x^3$

$A = \frac{1}{3}$, $B = x$として、上記の公式を適用します。

$(\frac{1}{3})^3 + x^3 = (\frac{1}{3}+x)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$

(6) $x^3 - y^3z^3 = x^3 - (yz)^3$

$A = x$, $B = yz$として、上記の公式を適用します。

$x^3 - (yz)^3 = (x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $(4a-3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

(5) $(\frac{1}{3}+x)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$

(6) $(x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$