三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを1:2に内分し、点Rが辺ABを2:1に内分するとき、線分COとORの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを1:2に内分し、点Rが辺ABを2:1に内分するとき、線分COとORの比を求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して、比を求めます。

三角形ABOと直線RCに関してメネラウスの定理を適用すると、以下の式が得られます。

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

問題文の条件より、$AR:RB = 2:1$、 $AQ:QC=2:1$なので、$AQ:AC = 2:3$、$QC:AC = 1:3$。$BC = BO+OC$ と表せる。

$\frac{AR}{RB}=\frac{2}{1}$ 、$\frac{OQ}{QA}$を求めたい。

$AC=AQ+QC$であり、$AQ:QC=2:1$なので、$AQ=\frac{2}{3}AC$となる。

問題文の条件より$AQ:QC = 2:1$なので、$AQ=\frac{2}{3}AC$。点Qは$AC$を1:2に内分するから$AQ=\frac{1}{3}AC$、$QC = \frac{2}{3}AC$

したがって、メネラウスの定理の式は

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

同様に、三角形ACOと直線BQに関してメネラウスの定理を適用すると

$\frac{CB}{BO} * \frac{OR}{RA} * \frac{AQ}{QC}=1$

$$\frac{AR}{RB} = 2, \frac{AQ}{QC} = \frac{1}{2}$$

三角形$ABO$と直線$RC$にメネラウスの定理を適用すると

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO+OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$AR/RB=2/1$, $AQ/QC = 1/2$なので、

$AR = 2k, RB=k, AQ = m, QC = 2m$.

$AC=3m$

三角形$AQC$と直線$BR$でメネラウスの定理を用いると、$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BO}{OC}\cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1}\cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$BO = \frac{1}{4}OC$

三角形ABOと直線CRでメネラウスの定理を用いると、 $\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO+OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$2 \cdot (\frac{1/4 OC +OC}{OC})\cdot\frac{OQ}{1/3 AC}=1$

$2 \cdot (5/4)\cdot\frac{OQ}{QA} = 1$.

$\frac{OQ}{QA}=\frac{2}{5}$

$\frac{OQ}{AC/3} = \frac{2}{5}$

$5 OC =4 BC$

$$\frac{CO}{OR} = 5:1$$

3. 最終的な答え

CO : OR = 5 : 1