三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれ $AQ:QC = 2:1$, $AR:RB = 2:1$ に内分するとき、$BO:OQ$を求めよ。ここでOはBQとCRの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれ $AQ:QC = 2:1$, $AR:RB = 2:1$ に内分するとき、$BO:OQ$を求めよ。ここでOはBQとCRの交点である。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解く。

三角形ABQに直線CRを用いる。

メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BO}{OQ} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$BO:OQ = 3:2$