三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACを $BC:CQ = 1:2$、$AC:AR=1:3$の比に内分するとき、$AO:OQ$を求める問題です。Oは線分ARと線分BQの交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACを $BC:CQ = 1:2$、$AC:AR=1:3$の比に内分するとき、$AO:OQ$を求める問題です。Oは線分ARと線分BQの交点です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解きます。

三角形BCRに対して直線AQを適用すると、

$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CR}{RB} \cdot \frac{BQ}{QB}=1$

が成り立ちます。ここで$\frac{BC}{CQ}=\frac{1}{2}$より、$\frac{BQ}{QC} = \frac{BC+CQ}{CQ} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$

また、$\frac{AC}{AR}=\frac{1}{3}$より、$\frac{AR}{RC}=\frac{3}{1-3}$

$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AO}{OB}=1$を解く。

ベクトルを用いる場合は、

$\vec{AO} = s\vec{AR}, \vec{BO} = t\vec{BQ}$とおく。

$\vec{AO} = s\vec{AR} = s(\vec{AC} - \vec{RA}) = \frac{2}{3}\vec{AC}$

$\vec{AO} = (1-u)\vec{AB} + u\vec{AC}, \vec{AO} = (1-v)\vec{AA} + v \vec{AQ} = v \vec{AQ}$

$\vec{AQ} = \frac{2 \vec{AB} + 1 \vec{AC}}{3}$

$\vec{AO} = v\frac{2 \vec{AB} + 1 \vec{AC}}{3} = \frac{2}{3} v \vec{AB} + \frac{1}{3} v \vec{AC}$

$1-u = \frac{2}{3} v, u = \frac{1}{3} v$

$1-u = \frac{2}{3} v, u = \frac{1}{3} v$

$1 = v$

$v = \frac{3}{5}$

$\frac{AR}{AC} = \frac{1}{3} = \frac{s}{1}, s = \frac{3}{7}$

$\vec{AO} = \frac{3}{5} (\frac{2 \vec{AB} + 1 \vec{AC}}{3}) = \frac{2}{5} \vec{AB} + \frac{1}{5} \vec{AC}$

$\vec{AR} = \frac{1}{3} \vec{AC}$

$\vec{AO} = \frac{7}{5} \vec{AQ}$

$\vec{AO} = \frac{9}{2} AR$

$\vec{AQ} = \vec{AB} + \vec{BQ}$

$\frac{AC}{AR}=3$、$\frac{BC}{CQ}=\frac{1}{2}$を用いて、$AO:OQ$を計算する。

$BC = \vec{AC} - \vec{AB}, CQ = \frac{2}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$

$\vec{AQ} = \vec{AC} + \frac{1}{3}$

チェバの定理より

$\frac{AQ}{QB} * \frac{BP}{PC} * \frac{CR}{RA}$

$\frac{3}{2}$

よって $AO:OQ = 9:2$

3. 最終的な答え

9:2