三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に内分し、点Rは辺BCを2:1に内分する。このとき、線分AOと線分ORの長さの比AO:ORを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に内分し、点Rは辺BCを2:1に内分する。このとき、線分AOと線分ORの長さの比AO:ORを求める。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を用いて解くことができます。直線ARが辺BQと交わる点Oについて、三角形BCQにメネラウスの定理を適用すると、以下の式が成り立ちます。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AB} = 1$

問題文より、$BR:RC = 2:1$、$AQ:QB = 3:2$なので、$QA:AB = 3:5$となります。

これを上記の式に代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{CO}{OQ} = 1$

$\frac{CO}{OQ} = \frac{5}{6}$

よって、$OQ:OC = 6:5$となります。

次に、三角形ABOと点Q、点R、点Cについて考えます。ここで、ベクトルを用いると、

$\vec{AO} = s\vec{AC} + t\vec{AR}$

と表すことができます。

ここで$\vec{AR} = \frac{\vec{AB} + 2\vec{AC}}{3}$と表すことができ、$\vec{AQ} = \frac{2}{5}\vec{AB}$と表せます。点Oは線分CQ上にあるので、

$\vec{AO} = k\vec{AQ} + (1-k)\vec{AC}$

$\vec{AO} = k \frac{2}{5}\vec{AB} + (1-k)\vec{AC}$

と表すことができます。これは点Oが線分AR上にあることより、

$\vec{AO} = l \vec{AR}$

と表すことができます。

$\vec{AO} = l \frac{ \vec{AB} + 2\vec{AC}}{3}$

$\vec{AB}, \vec{AC}$は一次独立なので係数を比較すると、

$\frac{2}{5}k = \frac{l}{3}$, $1-k = \frac{2l}{3}$

これにより、$k = \frac{5}{8}$, $l = \frac{3}{4}$が得られます。

$\vec{AO} = \frac{3}{4}\vec{AR}$

よって、$AO:OR = 3:1$となります。

3. 最終的な答え

AO:OR = 3:1