三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCをAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:3で内分するとき、線分ARとCQの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCをAQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:3で内分するとき、線分ARとCQの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。

三角形BCRと直線AQについて、

$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OC} \cdot \frac{CC}{RB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OC} \cdot \frac{4}{1} = 1$

$\frac{QO}{OC} = \frac{3}{20}$

よって、CQ:QO = 23:3

次にチェバの定理を用いる。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = 2$

次に、ARを基準に考え、メネラウスの定理を用いる。

三角形ACRと直線CQについて、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BC} \cdot \frac{CA}{AA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = 2$より、AC = AP + PC = AP + 2AP = 3AP となり、AP/AC = 1/3

メネラウスの定理より

$\frac{CP}{PA} \cdot \frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BC} = 1$

$2 \cdot \frac{AO}{OR} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{AO}{OR} = 2$

3. 最終的な答え

AO : OR = 2 : 1