多項式 $P(x) = 9x^3 + ax^2 + 4x + 2$ を $3x + 1$ で割ったときの余りが 3 になるように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 9x^3 + ax^2 + 4x + 2$ を $3x + 1$ で割ったときの余りが 3 になるように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を使用します。

$3x + 1 = 0$ となる $x$ の値は $x = -\frac{1}{3}$ です。

剰余が 3 であることから、$P(-\frac{1}{3}) = 3$ が成り立ちます。

$P(x)$ に $x = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$P(-\frac{1}{3}) = 9(-\frac{1}{3})^3 + a(-\frac{1}{3})^2 + 4(-\frac{1}{3}) + 2 = 3$

$-\frac{9}{27} + \frac{a}{9} - \frac{4}{3} + 2 = 3$

$-\frac{1}{3} + \frac{a}{9} - \frac{4}{3} + 2 = 3$

$\frac{a}{9} - \frac{5}{3} + 2 = 3$

$\frac{a}{9} + \frac{1}{3} = 3$

$\frac{a}{9} = 3 - \frac{1}{3}$

$\frac{a}{9} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3}$

$\frac{a}{9} = \frac{8}{3}$

$a = \frac{8}{3} \times 9$

$a = 8 \times 3$

$a = 24$

3. 最終的な答え

$a = 24$