与えられた3次式 $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$ を因数分解し、$(x + ア)(x - イ)^2$ の形に表すときの、アとイに当てはまる数を求める。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$ を因数分解し、$(x + ア)(x - イ)^2$ の形に表すときの、アとイに当てはまる数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式が $(x + ア)(x - イ)^2$ の形に変形できると仮定します。

$(x - イ)^2$ を展開すると $x^2 - 2イx + イ^2$ となります。

したがって、

$(x + ア)(x - イ)^2 = (x + ア)(x^2 - 2イx + イ^2) = x^3 + (ア - 2イ)x^2 + (イ^2 - 2アイ)x + アイ^2$

となります。

この式と $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$ の係数を比較すると、次の関係が得られます。

\begin{align*}

ア - 2イ &= -5 \\

イ^2 - 2アイ &= 3 \\

ア イ^2 &= 9

\end{align*}

3つ目の式 $ア イ^2 = 9$ より、アは9の約数であると考えられます。

ア = 1, 3, 9 の場合を試してみましょう。

もしア = 1なら、$イ^2 = 9$ より $イ = \pm 3$ です。

$イ = 3$ なら $ア - 2イ = 1 - 2(3) = -5$ となり、これは1つ目の式を満たします。

$イ = -3$ なら $ア - 2イ = 1 - 2(-3) = 7 \ne -5$ となり、これは1つ目の式を満たしません。

$イ = 3$ の場合、$イ^2 - 2アイ = 9 - 2(1)(3) = 3$ となり、2つ目の式も満たします。

したがって、ア = 1, イ = 3 が解である可能性があります。

もしア = 3なら、$3 イ^2 = 9$ より $イ^2 = 3$ となり、$イ = \pm \sqrt{3}$ となりますが、イは整数である必要があります。

もしア = 9なら、$9 イ^2 = 9$ より $イ^2 = 1$ となり $イ = \pm 1$ です。

$イ = 1$ なら $ア - 2イ = 9 - 2(1) = 7 \ne -5$ となり、これは1つ目の式を満たしません。

$イ = -1$ なら $ア - 2イ = 9 - 2(-1) = 11 \ne -5$ となり、これも1つ目の式を満たしません。

以上の検討から、ア = 1, イ = 3 である可能性が高いです。

この場合、与えられた式は $(x + 1)(x - 3)^2$ となります。

$(x + 1)(x - 3)^2 = (x + 1)(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + x^2 - 6x + 9 = x^3 - 5x^2 + 3x + 9$

となり、確かに与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

ア = 1, イ = 3

したがって、答えは

$(x + 1)(x - 3)^2$

となります。