平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上にBE:EC = 1:2となる点Eをとる。AEとBDの交点をFとする。 (1) △ABEの面積と△DBCの面積の比を求める。 (2) △FBEの面積が7cm²のとき、△FDAの面積を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上にBE:EC = 1:2となる点Eをとる。AEとBDの交点をFとする。

(1) △ABEの面積と△DBCの面積の比を求める。

(2) △FBEの面積が7cm²のとき、△FDAの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △ABEと△DBCの面積比

平行四辺形ABCDにおいて、BC = ADなので、△DBCの面積は平行四辺形の半分である。

BE:EC = 1:2 より、BE = (1/3)BCである。

△ABEの面積は、底辺をBEとすると、高さは平行四辺形の高さと等しい。

△DBCの面積は、底辺をBCとすると、高さは平行四辺形の高さの半分である。

よって、

△ABEの面積 = (1/2) × BE × 高さ = (1/2) × (1/3)BC × 高さ = (1/6) × BC × 高さ

△DBCの面積 = (1/2) × BC × (高さ/2) = (1/4) × BC × 高さ

したがって、△ABEの面積 : △DBCの面積 = (1/6) : (1/4) = 4 : 6 = 2 : 3

(2) △FBEの面積から△FDAの面積を求める

BE:EC = 1:2 より、BE:BC = 1:3

平行四辺形なのでAD=BCより、BE:AD = 1:3

△FBEと△FDAは相似であり、相似比はBE:AD = 1:3である。

よって、△FBEと△FDAの面積比は、相似比の二乗に等しいので、1² : 3² = 1:9

△FBEの面積が7cm²なので、

△FDAの面積 = 9 × △FBEの面積 = 9 × 7 = 63 cm²

3. 最終的な答え

(1) 2:3

(2) 63 cm²