円Oがあり、ATはその円の接線です。円周角∠ABCは45°です。このとき、∠xの大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

円Oがあり、ATはその円の接線です。円周角∠ABCは45°です。このとき、∠xの大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、円周角∠ABCに対する中心角∠AOCは、円周角の2倍になります。したがって、

$∠AOC = 2 \times ∠ABC = 2 \times 45° = 90°$

* 接線ATは半径OAと直交します。したがって、∠OAT = 90°です。

* ∠xは∠CATのことです。∠CATは∠OATから∠OACを引いた角度に等しくなります。つまり、

$∠x = ∠CAT = ∠OAT - ∠OAC$

* △OACはOA=OCの二等辺三角形であるため、∠OAC = ∠OCAです。また、△OACの内角の和は180°なので、

$∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°$

$2 \times ∠OAC + 90° = 180°$

$2 \times ∠OAC = 90°$

$∠OAC = 45°$

* したがって、

$∠x = ∠CAT = ∠OAT - ∠OAC = 90° - 45° = 45°$

3. 最終的な答え

45°