与えられた4次方程式 $x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24 = 0$ を解き、$x$ の値を求める問題です。ただし、解は3つあり、そのうち2つは大小関係が指定されています。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24 = 0$ を解き、$x$ の値を求める問題です。ただし、解は3つあり、そのうち2つは大小関係が指定されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式の整数解を探索します。定数項が24なので、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$ が解の候補となります。

$x=2$ を代入すると、$2^4 + 2^3 - 10(2^2) - 4(2) + 24 = 16 + 8 - 40 - 8 + 24 = 0$ となり、$x=2$ は解の一つです。

$x=-2$ を代入すると、$(-2)^4 + (-2)^3 - 10(-2)^2 - 4(-2) + 24 = 16 - 8 - 40 + 8 + 24 = 0$ となり、$x=-2$ は解の一つです。

$x=3$を代入すると、$3^4 + 3^3 - 10(3^2) - 4(3) + 24 = 81 + 27 - 90 - 12 + 24 = 30$ となり、$x=3$は解ではありません。

$x=-3$を代入すると,$(-3)^4 + (-3)^3 - 10(-3)^2 - 4(-3) + 24 = 81 - 27 - 90 + 12 + 24 = 0$　となり、$x=-3$は解の一つです。

$x=4$を代入すると、$4^4 + 4^3 - 10(4^2) - 4(4) + 24 = 256 + 64 - 160 - 16 + 24 = 168$　となり、$x=4$は解ではありません。

$x=2, x=-2, x=-3$ が解であることから、$(x-2)(x+2)(x+3) = (x^2 - 4)(x+3) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ で割り切れるはずです。

ただし今回は4次方程式なので、次数を下げるために $x^2 - 4$と$x+3$で割り切れることが分かっているので、$x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24$ を $(x-2)(x+2)(x+3)$で割り切ることを利用します。

すでに３つの解が見つかっているので、残りの解は $x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24 = (x-2)(x+2)(x+3)(x-a)$ のように書けます。

$x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24 = (x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x-a)$

$24 / (-12) = -2 = -a$ なので、$a=-2$となります。つまり、$x^4 + x^3 - 10x^2 - 4x + 24 = (x-2)(x+2)(x+3)(x+2)$ と因数分解できます。

したがって、解は $x=2, x=-2, x=-3$ です。

解の大小関係から、$x = 2, -2, -3$ であり、$-2 > -3$ であるから、

ケ = 2, コサ = -2, シス = -3 となります。

3. 最終的な答え

x = 2, -2, -3