与えられた3つの問題を解きます。 (1) $ |1-\sqrt{2}| - |\sqrt{3}-1| $ を簡単にします。 (2) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x+y$ と $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求めます。 (3) 不等式 $2x - 7 < 2$ の解を求め、その解を満たす自然数 $x$ の個数を求めます。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題を解きます。

(1) $|1-\sqrt{2}| - |\sqrt{3}-1|$ を簡単にします。

(2) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x+y$ と $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求めます。

(3) 不等式 $2x - 7 < 2$ の解を求め、その解を満たす自然数 $x$ の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を外すために、それぞれの絶対値の中身の正負を調べます。

$1 - \sqrt{2} < 0$ より、 $|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$

$\sqrt{3} - 1 > 0$ より、 $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$

したがって、

$|1-\sqrt{2}| - |\sqrt{3}-1| = (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

(2) まず、$x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

次に、$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ であることに気づきます。

したがって、$x^2 + 2xy + y^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

(3) 不等式を解きます。

$2x - 7 < 2$

$2x < 9$

$x < \frac{9}{2} = 4.5$

$x$ は自然数なので、$x = 1, 2, 3, 4$ となります。

したがって、この不等式を満たす自然数 $x$ は4個です。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$

(2) $x+y = \sqrt{5}$, $x^2+2xy+y^2 = 5$

(3) $x < \frac{9}{2}$, 4個