3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解にもつとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解にもつとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

複素数が係数の３次方程式が複素数解を持つとき、共役複素数も解となる。

したがって、$1+3i$ が解ならば、$1-3i$ も解である。

3次方程式の解を $\alpha$, $1+3i$, $1-3i$ とすると、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

\begin{align*}

\alpha + (1+3i) + (1-3i) &= 1 \\

\alpha(1+3i) + \alpha(1-3i) + (1+3i)(1-3i) &= a \\

-\alpha(1+3i)(1-3i) &= b

\end{align*}

最初の式より、

$\alpha + 2 = 1$

$\alpha = -1$

したがって、他の解は $-1$ である。

次の式より、

$-1(1+3i) + (-1)(1-3i) + (1+9) = a$

$-1 - 3i - 1 + 3i + 10 = a$

$a = 8$

最後の式より、

$-(-1)(1+9) = b$

$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = 8$, $b = 10$

他の解: $-1$