$x$の2次方程式 $x^2 - (k-2)x + 2k = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の値を求めます。 (1) 2つの解の差が1 (2) 2つの実数解の絶対値の和が $2\sqrt{2}$

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $x^2 - (k-2)x + 2k = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の値を求めます。

(1) 2つの解の差が1

(2) 2つの実数解の絶対値の和が $2\sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) 2つの解の差が1のとき

2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = k-2$

$\alpha \beta = 2k$

また、$\alpha - \beta = 1$ とします。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

$1^2 = (k-2)^2 - 4(2k)$

$1 = k^2 - 4k + 4 - 8k$

$k^2 - 12k + 3 = 0$

$k = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{33}}{2} = 6 \pm \sqrt{33}$

この解が実数解を持つためには、判別式 $D = (k-2)^2 - 8k \ge 0$ が必要です。

$D = k^2 - 4k + 4 - 8k = k^2 - 12k + 4 \ge 0$

$k = 6 \pm \sqrt{32} = 6 \pm 4\sqrt{2}$

$6 + \sqrt{33} \approx 6 + 5.7 = 11.7$, $6 + 4\sqrt{2} \approx 6 + 5.6 = 11.6$. $6+\sqrt{33} > 6 + 4\sqrt{2}$なので、$k > 6 + 4\sqrt{2}$

$6 - \sqrt{33} \approx 6 - 5.7 = 0.3$, $6 - 4\sqrt{2} \approx 6 - 5.6 = 0.4$. $6-\sqrt{33} < 6 - 4\sqrt{2}$なので、$k < 6 - 4\sqrt{2}$

$k^2 - 12k + 4 \ge 0$

$k = 6 \pm 4\sqrt{2}$

ここで、$x^2 - (k-2)x + 2k = 0$ が実数解を持つ条件は、$D = (k-2)^2 - 8k = k^2 - 12k + 4 \ge 0$ である。

$k = 6 \pm 4\sqrt{2}$ となるので、$k \le 6 - 4\sqrt{2}$ または $k \ge 6 + 4\sqrt{2}$.

$k = 6 \pm \sqrt{33} \approx 6 \pm 5.744 = 0.256, 11.744$.

$6 - 4\sqrt{2} \approx 0.34$, $6 + 4\sqrt{2} \approx 11.65$.

よって、$k = 6 \pm \sqrt{33}$

(2) 2つの実数解の絶対値の和が $2\sqrt{2}$ のとき

2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = k-2$

$\alpha \beta = 2k$

$|\alpha| + |\beta| = 2\sqrt{2}$

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2$

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha \beta + \beta^2$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (k-2)^2 - 8k = k^2 - 4k + 4 - 8k = k^2 - 12k + 4$

$|\alpha| + |\beta| = 2\sqrt{2}$ なので、$(\alpha + \beta)^2 = (k-2)^2$

$(|\alpha|+|\beta|)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| = 8$

$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta + 2|\alpha \beta| = 8$

$(k-2)^2 - 4k + 2|2k| = 8$

$k^2 - 4k + 4 - 4k + 4|k| = 8$

$k^2 - 8k + 4 + 4|k| = 8$

$k^2 - 8k + 4|k| - 4 = 0$

$k \ge 0$ のとき、$k^2 - 4k - 4 = 0$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$

$k \ge 0$ なので、$k = 2 + 2\sqrt{2}$

$k < 0$ のとき、$k^2 - 12k - 4 = 0$

$k = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{10}$

$k < 0$ なので、$k = 6 - 2\sqrt{10}$.

ここで、$k^2 - 12k + 4 \ge 0$ でなければならない。

$k = 2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2(1.4) = 4.8$. $(4.8)^2 - 12(4.8) + 4 = 23.04 - 57.6 + 4 = -30.56 < 0$.

$k = 6 - 2\sqrt{10} \approx 6 - 2(3.16) = 6 - 6.32 = -0.32$. $(-0.32)^2 - 12(-0.32) + 4 = 0.1024 + 3.84 + 4 > 0$.

よって，$k = 6 - 2\sqrt{10}$.

3. 最終的な答え

(1) $k = 6 \pm \sqrt{33}$

(2) $k = 6 - 2\sqrt{10}$