与えられた式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ と見て、$(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

すると、

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

次に、分母を計算します。

$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$.

したがって、

$(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$.

よって、

$\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、$\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けて分母を有理化します。

$\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$