与えられた式 $xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

\begin{align*}

xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy &= x^2y - 4xy - (xy-1)(xy+x+y+1) + xy \\

&= x^2y - 4xy - (x^2y^2 + x^2y + xy^2 + xy - xy - x - y - 1) + xy \\

&= x^2y - 4xy - x^2y^2 - x^2y - xy^2 - xy + xy + x + y + 1 + xy \\

&= x^2y - 4xy - x^2y^2 - x^2y - xy^2 + x + y + 1 + xy \\

&= -x^2y^2 - xy^2 - 3xy + x + y + 1

\end{align*}

与えられた式は $x^2y - 4xy - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$ でした。

\begin{align*}

(xy-1)(x+1)(y+1) &= (xy-1)(xy+x+y+1) \\

&= x^2y^2 + x^2y + xy^2 + xy - xy - x - y - 1 \\

&= x^2y^2 + x^2y + xy^2 - x - y - 1

\end{align*}

元の式に代入すると、

\begin{align*}

x^2y - 4xy - (x^2y^2 + x^2y + xy^2 - x - y - 1) + xy &= x^2y - 4xy - x^2y^2 - x^2y - xy^2 + x + y + 1 + xy \\

&= -x^2y^2 - xy^2 -3xy + x + y + 1

\end{align*}

問題文の式は $xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$ です。

これを整理すると、$-x^2y^2 -xy^2 - 3xy +x+y+1$ となります。

しかし、OCRで読み取った問題文の後半には、"-(xy-1)(x+1)(y+1)-xy"とあるため、この部分が誤りであると考えられます。

正しい問題文が "$xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$" であると仮定して、式を展開します。

$xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy = x^2y -4xy - (xy-1)(xy+x+y+1)+xy$

$=x^2y-4xy-(x^2y^2+x^2y+xy^2+xy-xy-x-y-1)+xy$

$=x^2y-4xy-x^2y^2-x^2y-xy^2+x+y+1+xy$

$=-x^2y^2 - xy^2 -3xy + x+y+1$

この式は、因数分解することが難しいです。

もし、問題文が "$xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) - xy$" であれば、

$x^2y-4xy-(x^2y^2+x^2y+xy^2+xy-xy-x-y-1)-xy$

$=x^2y-4xy-x^2y^2-x^2y-xy^2+x+y+1-xy$

$=-x^2y^2-xy^2-5xy+x+y+1$

これも因数分解が難しいです。

別の解き方として、まず $(xy-1)$ を共通因数としてくくりだせないか試します。しかし、この形ではうまくいきません。

3. 最終的な答え

問題文が "$xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) + xy$" であれば、 $-x^2y^2 - xy^2 -3xy + x+y+1$

問題文が "$xy(x-4) - (xy-1)(x+1)(y+1) - xy$" であれば、 $-x^2y^2 - xy^2 -5xy + x+y+1$

どちらの場合も、因数分解は困難です。問題文に誤りがあるか、因数分解可能な形にするための工夫が必要であると考えられます。

答え: 因数分解は困難